1 класс:

1. Какое число встречается на рисунке только один раз?
Ответ: 5

2. Из деталей на картинке Смартик построил башню. Что осталось?
Ответ: желтая пирамидка, синий куб

3. Смартик хотел записать по порядку все числа от 1 до 10, получилось 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10. Сколько чисел он пропустил?
Ответ: 3

4. От отмеченной точки О Костя провёл линию на 2 клеточки вверх, потом на 1 вправо и еще на 3 клеточки вниз. Что получилось?
Ответ: 3

5. Какое слово нельзя прочитать, если двигаться по стрелочкам?
Ответ: крот

6. На красный бумажный кружок положили голубой, а сверху розовый. Потом разрезали, как показано. Сколько кусочков бумаги получилось?
Ответ: 5

7. Смартик обводит кружками числа на рисунке. Он начинает с зелёного числа и чередует цвет чисел: зелёное, синее, зелёное, синее. Каждый раз он выбирает самое большое число нужного цвета, которое он ещё не обвёл.
Ответ: 4

2 класс:

1. Конкурс «Смарт Кенгуру» проходит раз в год. Сегодня он проходит в пятый раз. Вася участвовал во втором конкурсе, когда был второклассником. В каком классе Вася учится сейчас?
Ответ: в пятом

2. К какой букве можно пройти по стрелочкам от буквы О?
Ответ: Г

3. В каком числе цифра десятков на 3 больше, чем цифра единиц?
Ответ: 52

4. Что может получиться, если в браслете на рисунке поменять местами два шарика?
Ответ: Г

5. В примере квадратиками закрыта одна и та же цифра. Какая это цифра?
Ответ: 7

6. Смартик хочет сделать два рисунка одинаковыми. Он может добавлять кружки на любом рисунке и хочет добавить их как можно меньше. Сколько кружков ему понадобится?
Ответ: 4

7. На прозрачном квадрате провели линию, а потом квадрат согнули пополам. Что получится?
Ответ: Г

8. В некотором году день 5 февраля был пятницей. Какого числа был в этом феврале второй четверг?
Ответ: Б

9. За один шаг четырёхугольник на рисунке можно перекатить через вершину слева направо, как показано. Какая получится картинка, если сделать 10 таких перекатывании?
Ответ: В

10. Смартик сложил три числа и получил в сумме 43. Какой станет сумма, если каждое из этих трёх чисел уменьшить на 2?
Ответ: А

11. У сороконожки 40 ножек. Она надела башмачки на 3 передние пары ножек и на 5 задних пар. Сколько ножек осталось без башмачков?

Ответ:
Осталось без башмачков 24 ножки.

Пошаговое решение:

1. Всего ножек у сороконожки: 40.

2. Передние пары ножек с башмачками:
   $3\text{пары}\times 2\text{ножки}=6\text{ножек}$.

3. Задние пары ножек с башмачками:
   $5\text{пары}\times 2\text{ножки}=10\text{ножек}$.

4. Всего обутых ножек:
   $6+10=16$.

5. Ножек без башмачков:
   $40-16=24$.

Итог: 24 ножки.

12. По средам и воскресеньям Вася кормит рыбок, по понедельникам и субботам поливает цветы, по вторникам и четвергам гуляет с собакой Дусей, а по пятницам играет в футбол. Вчера он гулял с собакой, а сегодня кормил рыбок. Что он будет делать завтра?

Ответ: Завтра Вася будет гулять с собакой Дусей.
Пояснение:
Вчера он гулял с Дусей → вчера был вторник или четверг.
Сегодня он кормил рыбок → сегодня среда или воскресенье.
Если сегодня среда, то вчера был вторник (подходит, так как вторник — день прогулки с собакой).
Тогда завтра будет четверг → по расписанию в четверг Вася гуляет с Дусей.

3-4 класс:

1. В верном равенстве Смартик закрыл две цифры. Какие это могли быть цифры?
Ответ: 7 и 8

2. Федя принёс в корзинке 2 белых гриба, 3 подберёзовика, 14 жёлудей, 8 шишек и 5 подосиновиков. Сколько грибов было в корзинке?
Ответ: 10

3. Какое число получится, если начать с цифры 1 и двигаться по полоске в направлении стрелочки
Ответ: 13542

4. Сколько девяток в записи разности чисел миллион и тысяча один?
Ответ: 5

5. Петя записал на листочке свои отметки за неделю. Что верно?
Ответ: четвёрок больше, чем пятёрок

6. В каком примере самый большой результат? Ответ: 8 : 2 × (2 + 2) = 7. Четыре кружочка, каждый своего цвета, положили друг на друга и сделали два разреза, как показано на рисунке. Сколько кусочков получилось?
Ответ: 12

7. Четыре кружочка, каждый своего цвета, положили друг на друга и сделали два разреза, как показано на рисунке. Сколько кусочков получилось?
Ответ: Г

8. У кота Матроскина в гирлянде 8 лампочек на расстоянии 20 см друг от друга, а у Шарика 16 таких же лампочек на расстоянии 10 см друг от друга. Каждый измерил длину гирлянды от первой лампочки до последней. На сколько сантиметров отличаются эти результаты?
Ответ: А

9. В разности двух трёхзначных чисел некоторые цифры закрыты фишками. Одинаковые фишки закрывают одинаковые цифры, разные -разные. Чему равна сумма?
Ответ: А

10. Пачка бумаги из 500 листов имеет высоту 5 см. Какой высоты получится столб, если 1 000 000 таких листов положить друг на друга?

Ответ:
Столб из 1 000 000 листов будет иметь высоту 100 метров.

Пошаговое решение:

1. Толщина одного листа:
   5 см500 листов=0.01 см/лист500листов5см​=0.01см/лист.

2. Высота 1 000 000 листов:
   $0.01\text{см/лист}\times 1000000\text{листов}=10000\text{см}$.

3. Перевод в метры:
   10 000 см100=100 м10010000см​=100м.

Итог: 100 метров. Это примерно высота 30-этажного дома.

5-6 класс:

1. Какое из чисел можно получить, двигаясь по стрелочкам?
Ответ: 5210

2. Сколько раз нужно произнести слово один, чтобы прочитать число 10 110 101?
Ответ: 1

3. Смартик собрал фигурку из 5 кубиков. Что он увидит, если посмотрит на нее слева?
Ответ: В

4. Большую пиццу разрезали на 12 одинаковых кусочков. Федя съел несколько кусочков: больше трети, но меньше половины пиццы. Сколько кусочков он съел?
Ответ: 5

5. Если Коля придет в школу через час, то опоздает на урок на 10 минут. Сколько минут останется до начала урока, если он придет в школу через полчаса?
Ответ: 20

6. На каком из рисунков А─Д показана часть гирлянды, изображенной справа?
Ответ: Д

7. В числе 2125 Катя переставила две цифры, и число уменьшилось. На сколько?
Ответ: 900

8. Из пяти предложенных наборов Смартик хочет купить два набора так, чтобы у него было ровно три карандаша и три резинки. Какой набор он точно не купит?
Ответ: В

9. Если число не больше трёх, то оно обязательно
Ответ: Д

10. В городе Смарт метро имеет 4 кольцевых и 7 прямых линий (см. схему на рисунке). Смартик хочет проехать со станции А на станцию В, сделав как можно меньше пересадок. Сколько пересадок ему придется сделать?
Ответ: Б

11. Эля составила схему, которая становится правильной при некотором значении х, но операция под знаком «?» стерлась. Какой она могла быть?
Ответ: Б

12. На столе лежат синие, зеленые и красные карандаши. Красных карандашей вдвое больше, чем зелёных, и втрое больше, чем синих. Сколько карандашей может быть на столе?

Ответ:
На столе может быть 11 карандашей (минимальное количество) или любое другое число, кратное 11.

Пошаговое решение:

1. Пусть количество зеленых карандашей = $G$, тогда красных = $2G$.

2. Пусть количество синих карандашей = $S$, тогда красных = $3S$.

3. Составим уравнение: $2G=3S$ → S=2G3S=32G​.

4. Чтобы $S$ было целым, $G$ должно быть кратно 3.

5. Минимальный случай:

   • $G=3$, тогда $S=2$, красных = $2\cdot 3=6$.

   • Общее количество: $3+2+6=11$.

6. Другие варианты: $22,33,44,\dots$ (умножая на 2, 3, 4 и т.д.).

Итог: Количество карандашей должно быть кратно 11.

7-8 класс:

1. Что нельзя прочитать, двигаясь по стрелочкам?
Ответ: СМРИ

2. Каким бывает треугольник?
Ответ: прямоугольным

3. Два пирожных стоят как один тортик, а пять булочек ─ как два тортика. Сколько пирожных стоят столько же, сколько 10 булочек?
Ответ: 8

4. Петя отметил на координатной плоскости 4 точки. Потом он умножил абсциссу точки с самой большой ординатой на ординату точки с самой маленькой абсциссой. Что получилось?
Ответ: 3

5. У дроби треть числителя равна 20% знаменателя. Чему равна эта дробь?
Ответ: Б

6. Какие два угла могут быть смежными?
Ответ: два прямых

7. На столе у Маши было 12 цветных карандашей. Вася взял с Машиного стола не менее 5 карандашей, а потом Маша положила туда еще не менее 7 карандашей. Какое наименьшее число карандашей могло после этого оказаться на столе?
Ответ: В

8. Сумма трёхзначного и двузначного чисел меньше, чем 113. Чему не может равняться их разность?
Ответ: Д

9. Между городами А и В есть шесть дорог: три из них с односторонним движением и три — с двусторонним. Сколько существует способов доехать из А в В, а потом вернуться в А?
Ответ: Г

10. Какое наибольшее количество тупых углов может быть вместе у треугольника и четырехугольника?
Ответ: Б

11. Когда и длину, и ширину прямоугольника увеличили на 3 см, его площадь увеличилась на 48 см. Найдите периметр исходного прямоугольника.

Ответ:
Периметр исходного прямоугольника равен 26 см.

Пошаговое решение:

1. Пусть длина исходного прямоугольника $=a$, ширина $=b$.

2. Исходная площадь: $S=a\cdot b$.

3. После увеличения размеров:

   • Новая длина: $a+3$,

   • Новая ширина: $b+3$,

   • Новая площадь: $(a+3)(b+3)$.

4. Уравнение для разницы площадей:

   $$(a+3)(b+3)-ab=48$$

5. Раскрываем скобки:

   $$ab+3a+3b+9-ab=48\Rightarrow 3a+3b+9=48$$

6. Упрощаем:

   $$3a+3b=39\Rightarrow a+b=13$$

7. Периметр исходного прямоугольника:

   $$P=2(a+b)=2\cdot 13=26\text{см}$$

Итог: 26 см.

9-10 класс:

1. С каждой стороны ленточки Маша дважды написала число 2025, а потом сложила из ленточки «галстук». Как могла выглядеть ленточка с одной из сторон?
(А) 20252025
(Б) 20252025 
(B) 20252025
(Г) 20252025
(Д) 20252025

2. Что не имеет вершины?
(А) угол
(Б) треугольник
(В) ломаная
(Г) окружность 
(Д) парабола

3. Даша отметила на координатной плоскости пять точек. Из точек с самой большой абсциссой она выбрала точку с самой маленькой ординатой. Какую точку она выбрала?
(А) А
(Б) С 
(В) В
(Г) D
(Д) Е

4. В равнобедренном, но не равностороннем треугольнике Аня провела все биссектрисы, медианы и высоты. Сколько отрезков она провела?
(А) 3
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7 
(Д) 9

5. Чему равно ||1– | –1|| –1|?
(А) -1
(Б) 0
(В) 1 
(Г) 2
(Д) 3

6. Из точек A, B, C, D и E одновременно выползли 5 жуков. Они ползут в указанных направлениях с одинаковыми скоростями. Два жука столкнулись. Из каких точек они выползли?
(А) А и В
(Б) Д и Е
(В) В и Е 
(Г) В и С
(Д) А и С

7. В вазе лежало 10 яблок. Вася взял из вазы не менее трех яблок, а потом мама добавила туда не менее четырех. Какое наименьшее количество яблок могло после этого оказаться в вазе?
(А) 3
(Б) 4 
(В) 7
(Г) 10
(Д) 11

8. Синус угла а составляет 30% от косинуса а. Чему равен тангенс а?
(А) 3/10 
(Б) 10/3
(В) 7/10
(Г) 10/7
(Д) 13/10

9. В закрашенные клетки нужно вписать четыре различные цифры по одной в каждую клетку, так, чтобы сумма четырех полученных шестизначных чисел была самой большой из возможных. Чему равно эта сумма?
(A) 998754
(Б) 986461
(B) 987441 
(Г) 967471
(Д) 899774

10. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равно 2,5, а все стороны — целые числа. Чему равна площадь этого треугольника?
(А) 5
(Б) 6 
(В) 8
(Г) 10
(Д) 12

11. Какое из чисел А-Д самое маленькое?

Ответ: В

12. Вася составил схему, которая становится верной при некотором значении числа х, но операция под знаком ? теперь стерлась. Какой она могла быть?
(А) -4 
(Б) х2
(В) +28
(Г) :2
(Д) +4

13. В летний математический лагерь «Смарт» приехали 25 школьников. При обсуждении меню не менее половины из них проголосовали 0 против отмены) запрета есть не более двух котлет в день, остальные
проголосовали «за». Это значит, что за требование есть более двух котлет в день проголосовали
(А) не менее 12 человек
(Б) не более 12 человек 
(B) не менее 13 человек
(Г) не более 13 человек
(Д) все

14. 14. Смартик хочет сложить фигуру на рисунке, используя 5 синих и 6 красных кубиков 1х1х1. Какое наименьшее количество синих квадратиков 1х1 может оказаться на поверхности этой фигуры?
(А) 12
(Б) 15
(В) 16
(Г) 18 
(Д) 20

15. На клетчатом листе со стороной клетки 1 на одном из рисунков А-Д изображен фрагмент параболы у = ax2 + bx + с. На каком?
(А)
(Б)
(В)
(Г)
(Д) 

16. Часы Ивана Ивановича в полночь испортились. Теперь их минутная стрелка идет с обычной скоростью 5 минут, потом 10 минут стоит, потом опять 5 минут идет и т.д. Часовая стрелка 10 минут идет, потом 5 стоит, потом опять 10 минут идет и т.д. Когда эти часы впервые покажут 9:00?
(А) в полдень
(Б) в 13:30
(B) в 13:20
(Г) в 13:25
(Д) никогда 

17. Круговой трек разделен на 8 равных частей. Два велосипедиста стартовали одновременно из точки С и едут по часовой стрелке. Через некоторое время оказалось, что один велосипедист находится в точке А, а другой — в точке В. Каким может быть отношение их скоростей?
(A) 2
(Б) 3
(B) 5
(Г)7 
(Д) 9

18. К паре чисел применяется следующая операция: большее число удваивается, а меньшее утраивается. Начав е чисел 3 и 10, Коля применил эту операцию 100 раз. Чему равно отношение большего числа
к меньшему в получившейся паре?
(А) 40/27
(Б) 20/9 
(В) 81/80
(Г) 3^100/5*2^100
(Д) 3^99/5*2^99

19. У Саши есть 100 карточек с цифрами: 10 карточек — с цифрой 0, 10 — с цифрой 1 и т.д. Саша сложила самую длинную из возможных цепочку двузначных последовательных чисел, используя по две карточки на каждое число. Сколько чисел в этой цепочке?
(A) 15
(Б) 16
(В) 17
(Г) 18
(Д) 19 

20. Двенадцать бусинок выложили в три ряда, одну под другой, по четыре-в ряд. Некоторые бусинки синие, остальные — белые. Некоторые бусинки большие, остальные — маленькие. Непосредственно над каждой синей бусинкой лежит белая, а под каждой маленькой — большая.
Маленьких синих бусинок ровно две. Какое наименьшее количество больших белых бусинок может быть в этом наборе?
(A) 2
(Б) 4 
(В) 6
(Г)
(Д) 10

11 класс:

1. Чему равна сумма всех корней уравнения 3sinx-2cos2x=0 из интервала (-п, 5п\2)?
Ответ: Б

2. Какие корни уравнения cos2(x-п\4)=sin 2x лежат на интервале (2п;4п)?
Ответ: Д

3. Сколько корней имеет уравнение lg2x-2lgx+2=2singx-1?
Ответ: Б

4. Какой из интервалов целиком содержится в области определения функции y= корень sin2x-1\2cos2x?
Ответ: В

25. Четное натуральное число n имеет ровно 5 натуральных делителей. Сколько натуральных делителей имеет число 10n?
Ответ: 12

26. Пусть N — наименьшее из возможных чисел, обладающих свойством: 10N является квадратом натурального числа, а 6N является кубом натурального числа. Чему равна сумма первой и последней цифр числа N?
Ответ: А

27. Назовем родственником натурального числа другое число, записанное тем же набором цифр. Например, число 424 — родственник числа 244, а число 422 — нет. Сколько родственников не бывает у трехзначного числа с суммой цифр 5?
Ответ: А

28. Вдоль дороги растут дубы и березы, всего 100 деревьев. Количество деревьев между любыми двумя дубами не равно 5. Какое наибольшее количество дубов может быть среди этих 100 деревьев?
Ответ: 17