В турнире несколько разделов по заданиям: 
Правила игры Абака (еще не в доступе) — Комбинаторика — Теория чисел — Геометрия — Оценка + пример — Разное — Разбор игры Абака (еще не в доступе). Каждый раздел содержит по 5 основных заданий. Если задания выполнено не верно, то система вам это извещает, если задание решено верно, оно засвечивается зеленным светом и засчитано.  Вот таким образом: 

Для решения задачи требуется найти количество 18-значных чисел, в которых каждая цифра от 1 до 9 встречается ровно два раза, и которые дают максимальную сумму всех пятнадцати четырёхзначных чисел, составленных из последовательных четвёрок цифр.

1. Определение весов позиций:

   • Позиции 1-4: вес равен номеру позиции.

   • Позиции 5-15: вес равен 4.

   • Позиции 16-18: вес равен 18−i+1.

2. Максимизация суммы:

   • Цифры с наибольшим значением должны быть размещены на позициях с наибольшим весом.

   • Позиции с весом 4 (12 позиций) занимают цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4 (каждая по два раза).

   • Оставшиеся позиции занимают цифры 3, 2, 1 (каждая по два раза) на позициях с соответствующими весами.

3. Расчёт количества чисел:

   • Количество способов разместить цифры 9, 8, 7, 6, 5, 4 на 12 позициях с весом 4:

     12!(2!)6(2!)​

   • Цифры 3, 2, 1 размещаются на оставшихся позициях однозначно.

4. Вычисление:

   • 12!=479001600

   • (2!)6=64

   • 479001600/64=7484400

Таким образом, количество таких чисел равно: 7484400

Задание 2. ​Простые числа p, q и r больше 3. На какое наибольшее натуральное число заведомо делится произведение (p−q)(q−r)(r−p)?
Ответ: 48

Обоснование:

1. Делимость на 2⁴:

   • Все простые числа $>3$ нечётные, поэтому разности $(p-q)$, $(q-r)$, $(r-p)$ — чётные.

   • Каждая разность делится на 2. Среди трёх чисел p,q,r по модулю 4 хотя бы два имеют одинаковый остаток (1 или 3), поэтому их разность делится на 4.

   • Таким образом, произведение содержит 2×2×4=24

2. Делимость на 3:

   • Простые числа $>3$ не делятся на 3, поэтому их остатки при делении на 3 — 1 или 2.

   • По принципу Дирихле, среди трёх чисел хотя бы два имеют одинаковый остаток, и их разность делится на 3.

3. Итоговый делитель:

   • Произведение делится на 24×3=16×3=48

   • Примеры подтверждают, что 48 — минимальное общее кратное для всех возможных произведений.

Задание 3. Натуральное число 𝑁 разделили с остатком на все числа, меньшие, его и сложили полученные остатки. Получилось число 𝑁. Найдите самое большое возможное число 𝑁 с таким условием.
Ответ: 8 

Обоснование:
Для числа $N=8$ сумма остатков от деления на все числа от 1 до 7 вычисляется следующим образом:

• Остатки: $0$ (1), $0$ (2), $0$ (3), $2$ (4), $3$ (5), $2$ (6), $1$ (7).

• Сумма остатков: 0+0+0+2+3+2+1=8

Для других чисел N>8 сумма остатков всегда превышает N. Например:

• $N=9$: сумма остатков 12>9

• $N=10$: сумма остатков 13>10

• $N=12$: сумма остатков 17>12

Аналитически показано, что $N$ выполняется только при N=8

Задание 4. Какое наименьшее натуральное число можно представить в виде 56^n–5^m, где n и m — натуральные числа?
Ответ:  11 

Задание 5. 𝐴𝐵𝐶𝐷 – параллелограмм. Биссектриса угла 𝐷 пересекает сторону 𝐵𝐶 в точке 𝐾. Найти 𝐴𝐷, если 𝐵𝐾 = 4, 𝐶𝐷 = 14.
Ответ:  14. 

Обоснование:  Если провести биссектрису угла D до пересечения с BC, то получится треугольник DKC, который будет равнобедренным: DK = DC. Если это так, то DK = DC = 14.

Задание 6.  Внутри равностороннего треугольника нарисованы два квадрата. Одна сторона маленького квадрата лежит на стороне треугольника. Известно, что угол, отмеченный на рисунке, равен 72°. Чему равен угол 𝑥?

Задание 7. Треугольник 𝐴𝐵𝐶 — равнобедренный: 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶. Известно, что 𝐶𝑀 = 𝑀𝑁 = 𝑁𝐾 = 𝐴𝑁 = 𝐴𝐵. Найдите угол 𝐶.

Задание 8. На какое наименьшее (но большее 1) число равных фигур можно разрезать данную фигуру? Резать можно только по линиям сетки.

Задание 9. В корзине лежат 60 шаров пяти различных цветов: по 15 белого, синего и красного, а оставшиеся 15 — желтые и зеленые (причем мы не знаем, сколько из них каких). Какое количество шариков необходимо достать из корзины, чтобы среди них гарантированно нашлось 10 одноцветных шариков?
Ответ:  43

Задание 10. Какое наименьшее число фишек надо поставить на поля клетчатой доски 9 × 9 так, чтобы на каждой вертикали, горизонтали или диагонали (диагональю считается любая прямая, параллельная любой большой диагонали) стояла хотя бы одна фишка?
Ответ: 19 фишек 

Задание 11. Какое наименьшее количество трех-клеточных уголков можно расположить на доске 8 × 8 по сторонам клеток так, чтобы нельзя было добавить еще один такой же уголок?
Ответ: 11 уголков