1. Найдите три нецелых положительных числа a, b, c таких, что все числа a+b/a-b, b+c/b-c, c+a/c-a— целые.
Ответ: 1/5, 2/5 и 3/5.

2. В пещере собрались 100 гномов — по 10 гномов из 10 разных кланов. Каждый из них — рыцарь, всегда
говорящий правду, или лжец, который всегда лжет. Каждый из собравшихся назвал клан, из которого,
по его мнению, на собрание пришли одни лжецы. Оказалось, что каждый из 10 кланов назвало ровно 10
гномов. Докажите, что лжецов в пещере не меньше, чем рыцарей.
Решение и ответ: 
Сравнение количества лжецов и рыцарей

• Количество лжецов: 10(10−k).
  

• Количество рыцарей: 10k.

• Чтобы доказать, что лжецов не меньше, чем рыцарей, нужно показать, что:
  10(10−k)≥10k
  100−10k≥10k
  100≥20k
  $$k$$

• Это означает, что количество кланов, в которых все гномы — лжецы, не превышает 5.

• Если $k$, то количество лжецов 10(10−k)≥10×5=50

• Количество рыцарей 10k≤10×5=50

• Таким образом, количество лжецов не меньше, чем количество рыцарей.

Ответ: В пещере количество лжецов не меньше, чем количество рыцарей.

3.  В каждой клетке доски 2×200 лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются
в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может остановить
игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша?
Ответ: 300 рублей.

4. В начале года каждому из 150 бойцов лиги смешанных единоборств был присвоен номер от 1 до 150. В течение года было проведено 149 поединков: первого со вторым, второго с третьим, …, 149-го со 150-м. В конце года был составлен список бойцов, победивших во всех поединках, в которых они участвовали в прошедшем году. Могли ли в этом списке оказаться и все бойцы с номерами кратными 17, и все бойцы с номерами кратными 20?
Ответ: Не могли

5. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа?
Ответ: Не могло

6. На столе стоят 12 сосудов, выстроенных в 4 ряда по 3 сосуда в каждом. В каждый сосуд налито некоторое (возможно, нулевое) количество воды. Известно, что суммарное количество воды в каждом ряду равно 1 л. При каких значениях α можно утверждать, что на столе найдутся два сосуда, количества воды в которых отличаются не более чем на α л?
Ответ: При всех α ≥ 1/17.