1. У Максима десять контрольных работ за учебный год. Он может получить максимум 100 баллов за каждую контрольную. Средний балл за первые восемь контрольных работ Максима равен 80, а средний балл за все контрольные работы Максима равен N. Чему равно максимально возможное значение N?
Ответ: 84

2. В кондитерской несколько витрин, на каждой витрине одинаковое число подносов, а на каждом подносе одинаковое число пирожных. Пирожных на подносе больше, чем подносов на витрине, подносов на витрине больше, чем число витрин, а витрин больше одной. Известно, что общее число пирожных — 138.
Найдите число витрин.
Ответ: 2
Найдите общее число подносов.
Ответ: 6

3. Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский языки, причём каждый из 100 учеников в параллели изучает как минимум два иностранных языка. Известно, что английский изучает 79 учеников, немецкий — 69, а французский — 71. Сколько учеников изучают все три иностранных языка?
Ответ: 19

4. Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2 или 2 × 1?
Ответ: 2

5. Маша и Даша бегут по круговой дорожке по часовой стрелке, каждая девочка с постоянной скоростью. Маша может пробежать круг за t секунд, а Даша — за 70 секунд. Они стартуют из диаметрально противоположных точек. К моменту их первой встречи Маша пробежала ровно 35 кругов. Чему могло быть равно t? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 69, 71

6. Прямоугольник разбили на три одинаковых прямоугольника, проведя два параллельных отрезка. Периметр каждого из этих трёх прямоугольников равен 130 см. Потом исходный прямоугольник разбили на два одинаковых прямоугольника с периметром, равным 150 см. Чему может быть равен периметр исходного прямоугольника? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 198 ; 210

7. В соревнованиях по дартсу каждый участник делает 5 бросков и в зачёт идут 4 лучших. За каждый бросок можно получить от 1 до 20 баллов. За 5 бросков Петя набрал 64 балла. Какой наименьший балл у него может оказаться в зачёте?
Ответ: 52

8. На день рождения к Васе пришло 37 девушек и 36 юношей. Среди собравшихся 74 человек 37 любят чай, остальные — кофе. Миша посчитал, что девушек, которые предпочитают чай, и юношей, которые предпочитают кофе, суммарно 46. Сколько юношей среди собравшихся предпочитают кофе?
Ответ: 23

9. Найдите количество троек (a, b, c) целых чисел, где 1 ≤ a, b, c ≤ 5 и оба числа ab и bc чётны.
Здесь тройки рассматриваются с учётом порядка, то есть (1; 2; 3) и (1; 3; 2) считаются различными.
Ответ: 62

10. На сторонах AB и BC треугольника ABC отмечены точки P и Q соответственно, причём AC = CP = PQ = QB. Известно, что ∠ACB = 112°. Найдите остальные углы треугольника ABC.
∠BAC = ___°
Ответ: 51
∠ABC = ___°
Ответ: 17

11. В оркестре 3 скрипача и 4 виолончелиста. На репетиции они садятся в ряд случайным образом. Найдите вероятность того, что все скрипачи окажутся справа от всех виолончелистов. Ответ запишите в виде несократимой дроби.
Ответ: 1/35

12. Найдите все тройки действительных чисел a ≥ b ≥ c — такие, что a + b + c = 372 и a² + b² + c = b² + c² + a = c² + a² + b.
Ответ: (124, 124, 124) и (371, 371, -370).

13. Дана доска 4 × 4, в каждой клетке которой изначально стоят нули. За один ход можно выделить клетки доски, образующие прямоугольник 1 × 3 или 3 × 1, и увеличить каждое число в них на 1. После 25 таких ходов смотрят на наибольшее число на доске. Какое наименьшее значение оно может принимать?
Ответ: 5

14. На складе находится несколько одинаковых коробок с карандашами (более одной). Во всех коробках одинаковое количество карандашей (более одного). Известно, что всего карандашей больше 1300, но меньше 1400. Если бы кладовщик знал их точное общее количество, то смог бы определить точное число коробок, не заходя на склад. Сколько коробок на складе?
Ответ: 37

15. Тяжёлый прямоугольный брусок имеет высоту 1 м, а его основание — квадрат со стороной длины x м. Брусок поместили в бак с водой в форме параллелепипеда, площадь основания которого равна 4 м². Сначала брусок положили квадратным основанием на пол бака и уровень воды достиг верхней грани бруска. Потом брусок достали и положили другой гранью вниз, при этом уровень воды стал ниже на 40 см. На сколько сантиметров ещё понизится уровень воды, если снова достать брусок?
Ответ: 24

16. Решите уравнение в целых числах: x²y − x = x³ − y + 38. Для каждой пары решений (x; y) в ответ запишите модуль |x + y|. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 17; 21; 38

17. Двое играют в игру, делая ходы по очереди. На столе лежит n монет. За один ход первый игрок может снять со стола 1, 2 или 3 монеты, второй — 2, 3 или 4. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. При каких n первый игрок выиграет независимо от ходов другого игрока? Выберите все подходящие варианты:
70
71
72
73
74
75
Ответ: 71; 72; 73; 74

18. У ослика Иа-Иа есть 4 палочки длиной 4 см, 6 палочек длиной 6 см и 10 палочек длиной 10 см. Сколькими способами у ослика получится выбрать три палочки, из которых можно сложить треугольник? Все палочки считаем разными.
Ответ: 840.