1. Куб 3 × 3 × 3 составлен из единичных кубиков. Из него вынули кубик, находившийся в центре одной из граней большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая пять новых квадратных граней выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?
Ответ: 8
2. Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ в коробке B или D»;
B: «Ключ не в коробке A»;
C: «Ключ в коробке C»;
D: «Ключ не в коробке D».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D
Ответ: A
3. На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
ъ
a − b > 0
a + b < 0
ab > 0
b(a − b) < 0
2a + b > 0
a/b < 0
Ответ: a + b < 0; b(a − b) < 0; a/b < 0
4. Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую. На рисунке крестиками отмечены клетки B1 и D3. Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки B1, так и от клетки D3? Выберите все подходящие варианты:
Ответ: A3; B4; E1
5. Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что a + b = 10, b − c = 5, d = 3c, e = a + d, а сам код делится на 9. Восстановите код.
Ответ: 37269
6. Куб 9 × 9 × 9 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?
Ответ: 25
7. Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать. Сколькими способами можно уложить плитки?
Ответ: 8
8. На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 2, 3, 3 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BD
CE
AC
DE
DF
CF
AF
BE
Ответ: CE; AF
9. Три автоматических датчика записывают показания в журнал:
Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент (мин):
Второй момент (мин):
Ответ: 11; 47
10. Трёхзначный код обладает следующими свойствами:
если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 468;
если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 198;
исходный код делится на 11.
Найдите исходный код.
Ответ: 385
11. Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что
Андрей не был ни первым, ни последним;
Витя финишировал непосредственно перед Андреем;
Боря занял место на две позиции ниже, чем Витя;
Дима финишировал раньше Глеба;
Глеб не был последним.
Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима
Ответ: Дима, Глеб, Витя, Андрей, Боря
12. Точки A = (4, 3), B = (8, 4) и C = (6, 7) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные. Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D. Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.
Ответ: (2, 6), (6, 0), (10, 8); 42
13. График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 17 и 37. Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.
Ответ: 26,5
14. Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
68 69 70 71
67 78 79 72
66 77 80 73
65 76 75 74
Ответ: 78; 72; 76; 74
15. Сумма двух натуральных чисел равна 162, их наибольший общий делитель равен 18, а наименьшее общее кратное равно 360. Найдите эти числа. Порядок не важен.
Ответ: 72; 90