8 класс:
1. На клетчатом поле построили змейку из 50 уголков 4 х 4 (уголок — это квадрат 4 х 4, из которого удалили квадрат 3 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 1302
Ответ: 2576
Ответ: 3002
Ответ: 1362
2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 3 и rз=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 239
Ответ: 299
Ответ: 629
Ответ: 359
3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы пять рыцарей», или «Передо мной хотя бы шесть лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
Ответ: 9
Ответ: 7
Ответ: 40, 21
4. Семнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1300. Последнее, наибольшее, семнадцатое, равно 90. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: наибольшее — 69 наименьшее — 2
Ответ: 60, 2
Ответ: 51, 2
Ответ: 40, 21
5. В последовательности a1 = 5, a2 = 2, a3=3/5 каждый член определяется двумя предыдущими: a n+1 = an+1/an-1. Найдите a500.
Ответ: 3
Ответ: 1
Ответ: 2
9 класс:
1. На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников не являются квадратами 5 х 5?
Ответ: 1280
Ответ: 1260
Ответ: 1287
Ответ: 1271
2. Сумма двух чисел равна корень из 69, а разность — корень из 37. Чему равно их произведение?
Ответ: 8
Ответ: 9
Ответ: 11
Ответ: 6
3. В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана ВМ, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ALM.
Ответ: 8
Ответ: 5
Ответ: 12
Ответ: 7
4. Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(40) = 20. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(500).
Ответ: 0, 3, 39
Ответ: 1; 5; 3125
Ответ: 0; 1; 30
5. Параболу, являющуюся графиком функции у = 2х2, отразили относительно прямой, описанной уравнением у = x + 3. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay2 + by + c.
Ответ: a=2, b=-12, с=15
Ответ: a=5, b=10, с=-4
Ответ: a=4; b=−8; c=3
Ответ: a=−3; b=12; c=−10
10 класс:
1. Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21
Ответ: 22
Ответ: 20
Ответ: 23
2. В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5, 6, 7
Ответ: 8, 9, 10
Ответ: 21, 22, 23
Ответ: 15, 16, 17
3. В трапеции ABCD точки Р и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если LBAD = 33°, LCDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114 градусов
Ответ: 114
Ответ: 108
4. Последовательность чисел (an) определяется следующим образом: a1=2, a2=12/13, an=an-2*an-1/2an-2-an-1 для всех n = 3, 4, . … Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
Ответ: 12/3499
Ответ: 3/799
Ответ: 10/2399
Ответ: 4/1499
5. График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите с. Найдите f(3) + f(-3).
Ответ: 60/13 и 693/130
Ответ: -24/5; -119/15
Ответ: -48/5; -238/15
Ответ: -36/5; -1271/90
11 класс:
1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143-й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Аня? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда.
Ответ: 1, 96
Ответ: этаж: 2 Наибольший номер квартиры: 48
Ответ: этаж: 4. Наибольший номер квартиры: 39
Ответ: Этаж: 3, Квартира: 76
2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 8
Ответ: 26
Ответ: 6
Ответ: 15
3. Последовательность (а) определена следующим образом: a1 = 1, a10=55, an+2 = 2an+1 — an для всех натуральных п. Найдите а3. Найдите сумму а1 +а2+ … + a100.
Ответ: а-13, б-29800
4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее 407. Наименьшее 5.
Ответ: Наибольшее количество: 99 Наименьшее число: 7
Ответ: наибольшее 86. Наименьшее число в наборе: 8 и 24
Ответ: 113, 6
5. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС точка М — середина АС, N — середина ВС. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке К. Найдите AB +2KN, если BC = 18, tg ACB 40/9
Ответ: 82