Задания за 6 класс:

1. На столе выложены восемь карточек-цифр:
2 0 2 4 2 0 2 5
Используя в записи только однозначные и двузначные числа расположите все карточки в нужном порядке и расставьте знаки действий (+, -, x, +) и скобки между ними, чтобы в результате действий получилось 2025.
Ответ: (2 + 2 + 40 x 2 + 0) x 25 = 2025

2. Разрежьте данную фигуру на клетчатой сетке на три равные части: 

Решение:

3. В алфавите племени АМУ-АМУ всего три буквы, А, М, У. Смысл слова в языке племени не меняется, если в любое место слова вставить сочетание МАМА или МУУ, либо вычеркнуть сочетание АМ или МУМ. Можно ли утверждать, что слова МАУМАУ и УММА несут одинаковый смысл?
Ответ: Да

4. Аня и Боря играют в такую игру. У каждого изначально куча из 100 камней. Первая ходит Аня и убирает 1 камень из любой кучи. Каждый следующий игрок должен убрать из одной кучи (на его усмотрение) в два раза больше камней, чем убрал игрок в предыдущем ходу. Игра заканчивается, когда нельзя сделать ход, выигрывает тот, у кого останется больше камней. Кто выиграет при правильной игре?
Ответ: Боря

5. На острове два лагеря жителей: рыцарей, всегда говорящих правду, и лжецов, всегда говорящих неправду. Однажды на острове построили кинотеатр с прямоугольным залом на 32 места (4 ряда по 8 мест). На премьере побывали 32 жителя, заняв все места в зале, причем каждый из них заявил, что среди соседей были представители обоих лагерей (два зрителя являются соседями, если один из них сидит слева, справа, сзади или спереди от другого). Какое наименьшее число лжецов могло быть среди зрителей на этой премьере?
Ответ: 8

Задания за 7 класс:

1. Дано число 5/99. Его разложили в бесконечную десятичную дробь, 99 а затем перед каждой цифрой после запятой дописали цифру 2. Запишите получившееся число в виде несократимой рациональной дроби.
Ответ: x = 0,20252025…. Тогда 10000x = 2025,2025… = 2025 +x, откуда x = 2025/9999 = 225/1111.

2. На рисунке представлен план замка.

Точки это башни замка, отрезки это стены замка. Сколькими способами можно назначить стражников на патрулирование этого замка так, чтоб маршрут каждого стражника был замкнут, проходил по одной стене не более одного раза и чтоб по каждой стене проходил ровно один маршрут?
Ответ: 6561

3. Задача 7.3. В пятиугольнике ABCDE известно, что BC = AD, LABC = 60°, ZAED = 70°, ZBAD = 80°, LEAD = 50°. Докажите, что AB+AD = CE+DE.

Ответ: AB +AD =(1) =(2) > CE+ED.

4. Натуральные числа а и в таковы, что «2 — 63 = ab. Докажите, что число b является произведением двух последовательных натуральных чисел.
Ответ:
3 б. Получено решение, в котором использовано, но не доказано утверждение о том, что a делится на b.
2 б. Доказано, что a делится на b, других продвижений нет.

5. Вася закрашивает некоторые клетки таблицы 6 на 6 в виде «змейки»: каждая следующая закрашиваемая клетка соседствует по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но при этом не соседствует ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Змейку какой наибольшей длины может таким образом нарисовать Вася?
Oтвет: 24

Задания 8 класс:

1. Маша и Медведь играют в игру. Дана клетчатая полоска из 2024 клеток. Сначала Медведь ставит в любую клетку баночку меда. Затем на каждом ходу Маша называет произвольное натуральное число, не превосходящее п, а Медведь должен передвинуть баночку меда ровно на п клеток, не выходя за пределы полоски. Маша выигрывает, если в какой-то момент Медведь не сможет этого сделать. Найдите наименьшее и, при котором Маша может выиграть.
Ответ: 2024

2. Дана четырехугольная пирамида. На каждой ее грани написано число 0. За один ход разрешается выбрать любую вершину и изменить (т.е. увеличить или уменьшить) числа на всех гранях, содержащих эту вершину, на 1. Можно ли такими операциями добиться, чтобы на всех гранях пирамиды (в том числе и на основании) было бы написано число 2?
Ответ: Можно

3. Докажите, что множество решений уравнения [202,5x + 202,4] = [202,4x + 202,5] содержит интервал длины не менее 2/405.
Ответ:

4. Треугольник АВС вписали в окружность с центром О. Его высоты АМ и СК пересекаются в точке Н. Оказалось, что прямая МК делит отрезок ОН пополам. Чему может быть равен угол АВС?
Ответ: 45◦ или 135◦

5. Задача 8.5. Натуральные числа а и b таковы, что а3 -64 = ab2. Докажите, что число b является произведением трех последовательных натуральных чисел.
Ответ: a/b = n — натуральное и (n−1)n(n+1) = b, что и требовалось доказать.

Задания 9 класс.

1. Кузнечик сидит в вершине правильного треугольника со стороной 1. Каждый ход кузнечик выбирает одну из вершин треугольника и прыгает в направлении к ней, уменьшая расстояние до этой вершины вдвое. Может ли кузнечик за несколько прыжков оказаться ближе, чем на 0,1 от точки пересечения медиан треугольника?
Oтвет: Heт

2. Учитель написал на доске приведённое квадратное уравнение х2 + pr + q = 0 с целыми коэффициентами. Ученик Петя находит корни этого уравнения. Если оба корня окажутся целыми, то учитель составляет новое уравнение такого же типа, у которого вместо р и q стоят эти корни в том порядке, в каком захочет учитель. Если корни не целые или их нет вовсе, то Петя идет домой. Учитель очень хочет, чтобы Петя не попал домой никогда. При каких значениях р и q ему это удастся?
Ответ: p = 1, q = — 2 и q = 0, — любое.

3. Серединные перпендикуляры к сторонам АВ и ВС треугольника АВС пересекают прямые ВС и АВ в точках М и К. Оказалось, что прямые АМ и СК параллельны. Чему может быть равен угол АВС?
Ответ: 60° или 120°.

4. Назовем набор положительных вещественных чисел (а) , … , ак) волшебным, если уравнение [[17] + [а2п] + … + [акп] = n имеет бесконечно много натуральных решений. Докажите, что набор является волшебным тогда и только тогда, когда Q1 + … + 2к = 1 и все a; — положительные рациональные числа.
Ответ:
Обратно, докажем, что если 01. … , к — положительные рациональные числа с суммой 1, то уравнение [[17] + [27] + … + [акп] = n имеет бесконечно много решений. В самом деле, пусть D — наименьший общий знаменатель чисел a1. … , ак. Тогда все числа вида cD, где с — произвольное натуральное число, очевидно, будут решениями.

5. Докажите, что для любого натурального n > 2 можно расставить числа от 1 до 2 в клетках таблицы n X n таким образом, чтобы средние арифметические чисел в каждой строке и каждом столбце были бы натуральными числами.
Ответ:

Задания 10 класс:

1. Пусть р(x) = 223 — 322 + 1. Рассматриваются два множества A = {p(2), p(3), … ,р(2024)} и В = {p(2) — 1, p(3) — 1, … , р(2024) — 1}. В каком из этих множеств квадратов целых чисел больше?
Ответ: Во втором множестве квадратов на 1 больше.

2. Задача 10.2. Имеется таблица 4 х 4, в каждой клетке которой стоит 0 или 1. Каждую минуту с ней проделывается следующая операция: для каждой клетки считается сумма чисел в соседних с ней по сторонам клетках и одновременно в каждой клетке число заменяется на 0, если соответствующая сумма четна, и на 1 — если нет. Докажите, что в течение 6 минут какая-нибудь расстановка повторится дважды.
Ответ: Поскольку для базисных таблиц третья позиция совпадает с пятой, аналогичное утверждение будет верно и для таблицы исходной, что и требовалось доказать.

3. Дан ромб ABCD, в который вписана окружность. Точки Р и Q выбраны на сторонах AB и AD таким образом, что отрезок PQ касается окружности.
а) Докажите, что площадь треугольника CPQ не зависит от выбора отрезка PQ.
б) Найдите эту площадь, если известна сторона а ромба и его острый угол а.
Ответ:

4. Найдите все натуральные числа, представимые в виде [а, b) + [b, c] + [с, а] для некоторых натуральных a, b и с (здесь [2, у] — наименьшее общее кратное чисел х и у).
Ответ: Все натуральные числа, кроме 2+, где t — целое неотрицательное число.

5. Задача 10.5. Найдите количество перестановок (@1, 02, … , 010) набора чисел (1, 2, . .. , 10), таких, что «1 + 202 … $ 10010-
Ответ: 89